Les maths en physique - 3e édition: La physique à travers le filtre des mathématiques (avec éléments d'analyse numérique)
Traditionnellement, la physique est présentée par spécialités (mécanique, thermodynamique, optique...), les mathématiques ne servant qu'à «calculer» ; ce livre offre une approche complémentaire et transversale, dans laquelle concepts et techniques mathématiques, pris comme points de départ, servent à restructurer et unifier les connaissances en physiques.
Dans cette troisième édition, revue et corrigée, plusieurs chapitres ont été remaniés afin d'introduire de nouvelles notions : les matrices de Pauli et leur lien avec les spineurs, la physique quantique relativiste, la géométrie de l'espace temps et son application aux équations d'Einstein et une introduction sur les courbes et surfaces de Béziers. Des exemples sont également ajoutés afin de faciliter l'assimilation des notions théoriques.
Biographie de l'auteur
Professeur à l'université de Nice-Sophia Antipolis
Maître de conférences à l'université de Nice-Sophia Antipolis
Détails sur le produit
•Broché: 384 pages
•Editeur : Dunod; Édition : 3e édition (12 janvier 2011)
•Collection : Sciences Sup
Table of Contents
Table des Matières
Liste des abréviations
Table des sujets de physique
Avant-propos
1 Nombres réels ; grandeurs physiques ; dimensions
•1.1 Grandeurs physiques ; continuité ; paramétrages additifs
•1.1.2 Paramétrage additif des lois de composition ; logarithmes
•1.1.3 Fonction et notation exponentielles ; applications
•1.1.4 Mesure additive du désordre microscopique ; grands nombres et entropie ; exemples ; irréversibilité
•1.2 Caractère algébrique des grandeurs physiques
•1.2.2 Conventions et lois de l'électricité
•1.3 Grandeurs physiques et dimensions
•1.3.2 Applications et limites de l'analyse dimensionnelle
2 Nombres et notation complexes ; plan euclidien
•2.1 Calculs avec les nombres complexes
•2.1.2 Théorème fondamental de l'algèbre et applications
•2.2 Plan complexe et transformations associées
•2.2.2 Transformations dans le plan complexe
•2.3 Étude de courbes et de mouvements plans
•2.3.2 Coniques en coordonnées polaires et cartésiennes ; foyers
•2.3.3 Mouvement de Kepler
•2.3.4 Mouvement harmonique ; vecteurs tournants
•2.4 Notation complexe en physique classique
•2.4.2 Systèmes entrée-sortie ; fonctions de transfert et impédances
•2.4.3 Signaux modulés ou quasi-monochromatiques
•2.5 Applications à l'optique ondulatoire
•2.5.2 Diffraction en lumière monochromatique
•2.5.3 Polarisations
3 Espace ; symétries ; calcul vectoriel
•3.1 Symétrie, invariance et relativité
•3.1.2 Le groupe de symétrie de la physique
•3.1.3 Symétries spatiales (présentation expérimentale)
•3.1.4 Transformation des grandeurs et des champs physiques
•3.2 Calcul vectoriel; applications
•3.2.2 Equations de plans ; fréquences spatiales ; réseaux
•3.2.3 Différentielles de chemins ; effet Doppler ; lois de Descartes
•3.2.4 Vecteurs surface ; flux de grandeurs
•3.2.5 Sphère, angle solide et applications
•3.2.6 Géométrie sphérique ; notion de transport parallèle
•3.3 Vecteurs tournants ; mécanique du solide
•3.3.2 référentiel du centre de masse
•3.3.3 Cinématique et dynamique d'un corps solide
•3.4 Systèmes physiques possédant des symétries
•3.4.2 Symétries de translation ; lois de Descartes et généralisations
•3.4.3 Symétries de rotation et symétries discrètes ; applications en électromagnétisme et en acoustique
4 Calcul et physique linéaires ; relativité ; quantique
•4.1 Espaces vectoriels
•4.1.2 Structures métriques ; fonctions orthonormées
•4.1.3 Formes quadratiques et antisymétriques; volume
•4.2 Calculmatriciel
•4.2.2 Matrices n × n ; exponentielle ; trace ; déterminant ; inverse
•4.2.3 Spectre d'une matrice n × n ; vecteurs propres ; exemples
•4.2.4 Matrices de Pauli ; groupe de symétrie de la physique ; spineurs
•4.2.5 Groupe de rotation et classification des grandeurs physiques
•4.3 Applications en physique classique
•4.3.2 Optique matricielle des systèmes centrés
•4.3.3 Relativité d'Einstein et quadrivecteurs
•4.4 Physique quantique et espaces vectoriels
•4.4.1 Cadre général états quantiques ; moyennes évolution
•4.4.2 Dynamique des systèmes à deux états ; transitions quantiques
•4.4.3 Fonctions d'ondes ; E. D. P. de Schrödinger états gaussiens
•4.4.4 Oscillateur harmonique ; champ électromagnétique
•4.4.5 E. D. P. relativistes de Klein-Gordon, Weyl, Dirac ; champs quantiques; particules et antiparticules
5 Fonctions d'une variable ; analyse des signaux
•5.1 Savoir-faire concernant les fonctions
•5.1.2 dérivation, développements limités : principaux résultats
•5.1.3 Intégration; cas des fonctions piquées ou rapidement oscillantes
•5.1.4 Concavité de l'entropie ; travail maximum; transitions de phase
•5.2 Opérations sur les fonctions ; analyse de Dirac
•5.2.2 Impulsion de Dirac («fonction delta») ; exemples mécaniques
•5.2.3 Analyse de Dirac ; réponse impulsionnelle ; convolution ; filtrage
•5.3 Transformation de Fourier; analyse de Fourier
•5.3.1 Décomposition de Fourier ; spectre d'un signal ; formule de Poisson
•5.3.2 Propriétés : dualité temps fréquence
•5.3.3 Transformée de Laplace
•5.3.4 Signaux stationnaires ; signaux chaotiques ; langage probabiliste
•5.4 Optique de Fourier ; filtrage optique
•5.4.2 Illustrations optiques de la transformée de Fourier
6 Equations différentielles ; systèmes dynamiques
•6.1 Systèmes dynamiques et espace de phase
•6.1.2 Exemples de systèmes dynamiques et de leurs portraits de phase
•6.2 Equations linéaires stationnaires ; modes propres ; stabilité
•6.2.1 Equations du premier et du second ordre sans et avec second membre
•6.2.2 Cas général ; modes propres ; oscillateurs couplés
•6.2.3 Stabilité et instabilité d'un système dynamique linéaire stationnaire
•6.3 Dix équations vectorielles classiques de la physique
•6.4 Equations différentielles linéaires à coefficients variables
•6.4.2 Ondes stationnaires états lés; quantification
•6.4.3 Ondes propagatives ; réflexion, transmission, adaptation d'impédance
•6.4.4 Equations avec paramètres périodiques ; théorème de Floquet-Bloch
•6.4.5 Equations d'amplitude ; approximation adiabatique
•6.5 Oscillateurs non linéaires
•6.5.2 Oscillateurs linéairement instables ; exemple de Van der Pol ; bifurcations de Hopf et d'un cycle limite
7 Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
•7.1 Calcul différentiel
•7.1.2 Dérivées spatiales de champs scalaires et vectoriels
•7.1.3 Dérivées temporelles et applications hydrodynamiques
•7.1.4 Changements de variables ; règles de calcul
•7.2 Calcul intégral
•7.2.1 Intégration à n dimensions ; jacobien ; cas des très grandes dimensions
•7.2.2 Formes différentielles ; formules de Stokes et Ostrogradski > Forme différentielle
•7.2.3 Analyse vectorielle ; frontières et champs dépendant du temps ; loi de Lenz; hydrodynamique
•7.2.4 Bilans de grandeurs ; applications aux milieux continus > Circulation automobile
•7.3 Applications à la mécanique et à l'optique géométrique
•7.3.2 Optique géométrique : rayons ; surfaces d'onde ; caustiques et problèmes d'extremum
•7.4 Applications à la thermodynamique
•7.4.1 Rôle clé de l'entropie équations d'état ; coexistence de phases
•7.4.2 Potentiels thermodynamiques et équilibres
•7.5 Applications à l'électromagnétisme
•7.5.2 Potentiel scalaire et potentiel vecteur ; bilans d'énergie et de quantité de mouvement; A. R. Q. S
•7.5.3 Calculs avec des densités microscopiques ; rayonnement
8 Equations aux dérivées partielles ; propagation ; diffusion
•8.1 Chaines de systèmes dynamiques coupés ; limite continue
•8.1.1 Chaines d'oscillateurs ; rôle des conditions aux limites ; phonons
•8.1.2 Limite continue ; cordes vibrantes ; ligne électriques ; hydrodynamique ; impédances
•8.2 Solutions de quelques E. D. P. dynamiques
•8.2.2 Equations de diffusion et de propagation ; fonctions de Green ; ondes stationnaires
•8.2.3 Six E. D. P. liées à une loi de conservation
•8.2.4 Trois exemples d'E. D. P. non linéaires ; ondes solitaires
•8.3 E. D. P. spatiales impliquant l'opérateur laplacien
•8.3.2 Unicité des solutions ; identité de Green ; séparation des variables
•8.3.3 Equation de Laplace Δ f = 0 dans le plan et fonctions d'une variable complexe ; applications hydrodynamiques
9 Principes variationnels
•9.1 Exemples historiques ; formalismes de Lagrange et de Hamilton
•9.1.2 Principe de Hamilton dans l'espace de phase
•9.1.3 Equations d'Euler-Lagrange ; symétries et lois de conservation ; E. D. P. d'Hamilton-Jacobi
•9.1.4 Equations de Hamilton et géométrie de l'espace de phase
•9.2 Principes de moindre action et généralisation des mouvements inertiels
•9.2.2 Particules chargées et interaction électromagnétiques
•9.2.3 Temps propre et gravitation; courbure de l'espace-temps
•9.3 Champs et principes de moindre action
•9.3.2 Equation de Schrödinger ; théorème adiabatique
•9.3.3 Equations d'Einstein de la gravitation; action de Hilbert
10 Probabilités ; processus aléatoires
•10.1 Langage des probabilités
•10.1.1 Grandeurs aléatoires et raisonnements logiques ; conditionnement
•10.1.2 Probabilités ; lois de probabilité
•10.1.3 Grandeurs moyennes ; moments ; corrélations
•10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique
•10.2.2 Loi binomiale et loi de Poisson
•10.2.3 Loi de Boltzmann ; généralisations; statistiques quantiques ; réponse linéaire et fluctuations
•10.2.4 Estimation et lois de .2 (khi-deux)
•10.3 Processus aléatoires
•10.3.2 Processus de Markov ; probabilités de transition ; bilan détaillé
•10.3.3 Processus stationnaires ; théorème de Wiener-Khintchine ; ergodicité
11 Analyse numérique ; physique discrète
•11.1 Discrétisation
•11.1.2 Dérivation et intégration; extrapolation de Richardson
•11.1.3 Nombres aléatoires ; méthode de Monte-Carlo
•11.2 Résolution numérique d'E. D. et d'E. D. P
•11.2.2 E. D. avec conditions aux limites ; méthode de tir
•11.2.3 E. D. P. avec conditions initiales : propagation, diffusion
•11.3 Approximation de fonctions ; interpolation ; moindres carrés ; méthode de Bézier
•11.3.2 Interpolation de Lagrange et par cubic-splines
•11.3.3 Méthode des moindres carrés
•11.3.4 Méthode de Bézier
•11.4 Résolution d'équations, d'E. D. et d'E. D. P. linéaires
•11.4.2 E. D. et E. D. P. linéaires ; méthodes spectrales éléments finis
•11.5 Recherche de minima
•11.5.2 Méthodes du simplex et du recuit simulé
Index
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